Tema: Ecuaciones en sistemas polares 

Objetivo: Graficar caracoles, rosas, lemis cartas, y espirales en sistema polar.

Para graficar una ecuacion se debe tener una variable independiente en el sistema polar, la variable dependiente es generalmente el angulo, los principales lugares geométricos (casos especiales) son:

Caracoles, rosas, lemis cartas y espirales.

Ejemplo: 

 

Tema: Sistema polar

Un sistema rectangular se compone con ejes perpendiculares que cuentan con proyecciones para ubicar un punto en el plano, sistema solar cuenta con círculos concentricos que representan la magnitud radios homogéneos que representa el angulo  de inclinación para calcular un punto en ordenadas polares que utilizan las siguientes ecuaciones.

Tema: Hipérbola

Objetivo: identificar los elementos de la hipérbola fuera del origen.

Cuando una hipérbola no se encuentra en el origen sus elementos se representan en función del centro como muestran los siguientes esquemas.

Tema: Hipérbola

Objetivo: Identificar los elementos de la hipérbola

Para resolver una hipérbola se necesita esta ecuación.

Tema: Elipse

Objetivo: Identificar los elementos de la elipse.

Una elipse se define por una cónica formada cuando se realiza un corte en diagonal a un cono, en forma análoga a la parábola es una cónica formada por dos parábolas que cuentan con el mismo eje simétrico y su concavidad es opuesta.

Sus elementos importantes son:

a) Vértice

b) foco

c) lado recto

d) eje mayor (distancia entre vértices)

e) eje menor (ancho de la parábola)

f) excentricidad

g) directriz

Para calcular los elementos de una parábola cuando el centro se encuentra en el origen.

Se deben identificar los valores de la distancia focal, la distancia del foco al centro y la distancia del centro al eje menor (a,b,c) las ecuaciones matemáticas utilizadas en esta cónica se representan el el siguiente esquema.

3 Parcial

Tema: Elipse 

Objetivo: identificar la ecuación de la elipse 

Una elipse es el lugar geométrico que se forma a partir de un corte diagonal un cono.

su ecuación se define como una ecuación cuadrática donde la variable dependiente e independiente son de segundo grado de diferente coeficiente y de signo positivo.

las siguientes ecuaciones representan en forma gráfica, lugares geométricos, cíclicos. ¿Cual de ellas son elipses?

Ejemplo

x²+y²=4   se despeja y

y=√ 4-x²    después de despejar y se resuelve de la siguiente manera:

x         y

-3        0

-2        0

-1      ± 1.7320

0       ± 2

1       ± 1.7320

2         0

3         0                se sustituye el numero de la "x" en la ecuación ya despejada 

Realizaremos la gráfica y sabremos si es una elipse.

Tema: Parábola

Objetivo: Identificar la ecuación de una parábola con centro en el origen.

Para calcular los elementos de una parábola con vértice en el origen debemos identificar el valor de la distancia "focal (p)" los elementos importantes de una parábola son 

a) vertice

b) foco

c) directriz 

Las ecuaciones para calcular los elementos de una parábola con vértice en el origen son: 

Tema: Circunferencia

Objetivo: Resolver problemas de aplicación

Para resolver un problema de aplicación se debe diseñar el boceto donde se expresa los elementos de la circunferencia identificada las variables e incógnitas que intervienen en ella.

Ejemplo:

Una rueda de la fortuna tiene un diametro de 18 mts y su centro se encuentra a 10 mts sobre el nivel del suelo indique la altura de las canastillas a 3 mts a la izquierda del centro, indique a que distancia horizontal de la base se puede encontrar una canastilla con una altura de 12 mts.

 

Resolución: 

Tema: Circunferencia 

Objetivo: Identificar la ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen.

La ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen se determina por la ecuación

La ecuación general se calcula desarrollando lo binomios al cuadrado e igualando la ecuación a 0 (cero) obteniendo una ecuación de la forma  x2+y2+cx+dy+e=0

Ejemplo: 

Indique la ecuación canónica y general de la circunferencia con centro en el punto (4,2)  y radio de 

3u, grafiquelo.

  

Tema: Circunferencia 

Objetivo: Identificar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen.

Las cónicas se definen como aquellos lugares geométricos que se forman a partir de cortes realizados a un cono, si el cono se corte se corta de forma horizontal se obtiene una circunferencia, si el corte se realiza en forma diagonal se obtiene una elipse, si el corte se obtiene vertical se obtiene una parábola, si el corte se realiza a 2 conos concentricos se obtiene una hipérbola.

Una circunferencia se define como el lugar geométrico formado por puntos equidistantes a un punto llamado centro, la distancia entre el centro y cualquier punto se denomina radio.
Cuando una circunferencia tiene su centro en el origen se representa matemáticamente con la siguiente ecuación:

Ejemplo:

 

Tema: Rectas

Objetivo: Resolver problemas de aplicación.

Para resolver problemas de aplicación se debe diseñar un esquema que muestre gráficamente las variables del problema y posteriormente indicar el modelo matemático del problema.

Ejemplo:
Un cañón disparo una bala con un angulo de inclinación 30 grados, indique la ecuación de la trayectoria de la bala si horizontalmente recorre 700 mts; indique la distancia horizontal recorrida cuando alcanza una altura de 100 mts.

Resolución:

Tema: Recta

Objetivo: Representar a la recta en su forma reducida y punto pendiente.

Para representar una recta conociendo un punto por donde pasa y la pendiente o angulo de inclinación  se utiliza la ecuación (y-y1)= m(x-x1).   A partir de esta ecuación se puede encontrar las ecuaciones restantes como indican los siguientes ejemplos.

 1)
Grafique la recta que pasa en el punto (3,8) y cuenta con angulo de inclinación de 45 grados.

Tema: Recta

Objetivo: Identificar la ecuación de la recta "General, pendiente ordenada al origen y 2 puntos".

 Para graficar una recta a partir de la ecuación pendiente ordenada al origen se debe identificar el angulo de inclinación y el punto donde corta la ordenada.

Ejemplo:

Indique la ecuación pendiente ordenada al origen que pasa por los puntos (-1, -4) y (2, 0).

Segundo Parcial

Tema: Área de polígonos 

Objetivo: Calcular el área de un polígono conociendo sus vértices

Para calcular el área de un polígono conociendo sus vértices se realiza una determinante con cada uno de ellos matemáticamente se puede expresar con la siguiente ecuación. 

Ejemplo:

"Clase 10"

Tema: Angulos
Objetivo: Identificar la magnitud de un angulo.
Un angulo se define como la abertura entre 2 rectas y se denota por el símbolo < seguido de los puntos que conforman al segmento o su vértice.
En el sistema internacional se utilizan los de gradientes que dividen a una circunferencia en 360 grados.

El sistema absoluto utiliza radianes que son la división de una circunferencia en 2 pi radianes.

1 rad = 360/2pi = 57.2957

Para calcular el valor de uno o varios ángulos a partir de un esquema se debe encontrar la ecuación como muestran los siguientes ejemplos.

x+2x+2x= 5x

5x+40=180

x= 180-40/5

x=28

A= 2 (x)= 2(28)= 56

B= (x)= 1(28)= 28

C= 2 (x)= 2 (28)= 56

D =                      = 40

Total =                 =180

"Clase 9"

Tema: Vistas de un objeto.

Objetivo: Identificar la proyección de las caras de un objeto.
Un objeto (prisma) cuenta principalmente con 6 caras que pueden representarse mediante proyecciones como muestra el siguiente esquema.

Ejemplo:

"Clase 8"

Tema: El punto en el espacio tridimensional.

Objetivo: identificar las coordenadas y las aristas.

Para identificar los vértices y aristas de un objeto es importante identificar el punto de referencia donde sera colocado el sistema coordenado con la finalidad de identificar las coordenadas de cada uno de los vértices.

las coordenadas permiten encontrar la medida de 2 aristas considerando la distancia entre los puntos.

Ejemplo:

"Clase 7"

Tema: Sistema de coordenadas.

Objetivo: Representar un punto en el espacio y calcular las medidas de las aristas.
Un sistema de tres dimensiones cuenta con tres ejes perpendiculares entre si los cuales permiten ubicar identificar la posición mediante proyecciones en cada uno de los ejes, los octantes se colocan en sentido anti horario iniciando en la vista frontal del observador.

Para ubicar un punto en el espacio se utilizan para convención los ejes (x,y,z)en la siguiente forma.

Para calcular la distancia entre 2 puntos se utiliza el teorema de pitagoras utilizando el incremento en cada uno de los ejes aplicando la siguiente ecuación.

"Clase 6"

Tema: Espacio tridimensional y subdivisión en cuadrantes.

Objetivo: Identificar las vistas de un isometrico.
Isometrico cuenta con 3 vistas principales generalmente el observador se representa de lado izquierdo del objeto teniendo la siguiente imagen.

Para representar las vistas de un objeto se utiliza un cuadrante con los ejes perpendiculares colocando una linea auxiliar a 45 grados en el primer cuadrante las vistas de la siguiente manera.

Para graficar las vistas de un objeto se debe generar el volumen del mismo representando a escala cada una de las medidas utilizando paralelas que van a auxiliar en los cortes a cada una de las cosas.

 Ejemplo:

"Clase 5"

Tema: Escala.

Objetivo: Identificar las escalas.

La escala se define a la razón de semejanza entre la figura representada y la figura original.

Escala = dibujo / realidad.

Cuando se realiza una representación donde se incrementen los valores de cada magnitud la relación debe ser mayor a 1.

Para representar una escala en lugar de diagonal se representa con dos puntos como se muestra en la siguiente proporción.

2:1  5:1  100:25  Ampliación

1:2  3:1  100:125  Reducción

Ejemplo:

" Clase 4"

Tema: Isometrico.

Objetivo: Identificar un isometrico.

Un isometrico representa a un objeto en forma tridimensional utilizando proyecciones con una inclinación de 30 grados con respecto a la horizontal para conservar las medidas ya sea a escala o con su valor real.

Ejemplo:

"Clase 3"

Tema: Tipos de proyección. 

Objetivo: Identificar los tipos de proyección.

De acuerdo a la posición del observador se pueden clasificar las proyecciones, como se representa en el siguiente esquema.

• Proyección Gráfica -- proyección cónica -- proyección ortogonal  -- proyección oblicua.                                             -- proyección paralela -- proyección ortogonal -- proyección oblicua.  

a) Proyección cónica ortogonal: es aquella proyección donde las lineas de proyección concurren en un punto central y estos se presentan en forma horizontal.

Ejemplo:

b) Proyección cónica oblicua: es aquella proyección en donde el observador y el plano de proyección se encuentra a diferente altura como muestra el siguiente esquema.

Ejemplo:

c) Proyección paralela ortogonal: Es aquella donde un observador se encuentra a una distancia indefinida del plano de proyección, por tanto las lineas de proyección son paralelas.

Se le llama ortogonal por que todas están a la misma altura.

Ejemplo:

d) Proyección paralela oblicua: En esta proyección las lineas de proyección se representan en forma diagonal como muestra el siguiente esquema.

Ejemplo:

Una proyección permite representar un isometrico (representación de un objeto sin alterar sus proporciones) utilizando diferentes transformaciones entre los cuales se encuentran: 

a) Traslación: es el cambio de ubicación de los puntos de una figura plana en una misma direccion, sentido y longitud, se puede representar el movimiento mediante placas que reciben el nombre de vectores. 

Ejemplo:

b) Reflexión: es una representación original de una figura a otra llamada imagen utilizando una recta llamada eje de simetría utilizando rectas perpendiculares como muestra el siguiente esquema.   

Ejemplo:

c) Simetría central: en esta transformación se realiza la imagen utilizando proyecciones de los puntos de la figura que convergen en un punto llamado "punto de simetría"  trasladando las distancias con el compás. 

Ejemplo:

d) Rotación: esta transformación se realiza a partir de un punto de rotación determinado, se realiza en forma positiva en sentido anti horario y en negativo en sentido horario.

Ejemplo: